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%Tapuscrit Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{}}
\lhead{\small Baccalauréat  Première série générale}
\lfoot{\small{LFB}}
\rfoot{\small{nov. 2021}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Baccalauréat Première  Lycée Français de Barcelone~\decofourright\\[6pt]série générale devoir commun \no 1 nov. 2021 }}
\end{center}

\vspace{0,2cm}

\begin{center}{Calculatrices autorisées - Documents interdits}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Ce QCM comprend 5 questions.

Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.

Les questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.

Aucune justification n'est demandée mais il peut être nécessaire d'effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.

Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire de point.

\medskip


\textbf{Question 1 :}

\medskip


\begin{minipage}[t]{8.64cm}
Soit $f$ la fonction définie par

$f(x) = ax^2+bx+c$ où $a$, $b$ et $c$ sont des réels.

On considère dans un repère la courbe représentative de $f$ tracée ci-contre.

On appelle $\Delta$ son discriminant.

On peut affirmer que :

\end{minipage}
\begin{minipage}[]{6.3cm}
\psset{showorigin=false,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-2.75,-0.8)(3.4,4.26)
\psaxes[linewidth=0.75pt,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-2.2,-0.8)(3.3,3.7)\uput[dl](0,0){O}
\def\Func{x 1.35 add x 2.4 sub mul 0.957 neg mul }
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.8}{2.6}{\Func}
\end{pspicture*}
\end{minipage}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $a > 0$ ou $c < 0$ &\textbf{c.~~}$a < 0$ et $c < 0$.\\
\textbf{b.~~} $c$ et $\Delta$ sont du même signe&\textbf{d.~~} $a < 0$ et $\Delta< 0$. 
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 2}


\medskip

L’ensemble des solutions de l’inéquation $x^2 -5x + 6 < 0 $ est

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $ ]-\infty~;~2[ \cup ]3~;~+\infty[$ &\textbf{b.~~}$]-\infty~;~-1[ \cup ]6~;~+\infty[ $ &\textbf{c.~~}$]2~;~3[$& \textbf{d.~~}$ ]-1~;~6[$ .
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 3}

\medskip

On se place dans un repère orthonormé du plan.

Sur la figure ci-dessous, on a tracé la courbe représentative notée $C$ d'une fonction $f$ définie sur $\R$.

La droite $D$ est tangente à la courbe $C$ au point A(5~;~0).

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-6,-2)(8,5.25)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.4pt,subgriddiv=1]
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-6,-2)(8,5)
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-5}{8}{x 4 add x 6 sub mul x 4 exp 1 add div 0.25 sub}
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=orange]{-4.9}{2}{4 x 3 exp 3 div x dup mul 2.5 mul add 4 x mul add 3 mul 26 div sub}
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-5}{8}{x 4 add x 5 sub mul x dup mul  9 x mul add 0.25 sub mul 2.7182 0.0001 x mul exp div}%   5 div neg 
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-5}{8}{5 3 div x 3  div sub}
%\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-4.85,5)(-4.82,4)(-4.7,3)(-4.5,1)(-4,0)(-3,1.3)(-2,3.75)(-1,4.4)(0,4)(1,3.1)(2,2)(3,1.1)(4,0.45)(5,0)(6,-0.25)(7,-0.35)(8,-0.4)
\psbezier[linewidth=1.25pt,linecolor=red](-4.85,5)(-4.5,1)(-4.6,0.4)(-4,0)
\psbezier[linewidth=1.25pt,linecolor=red](-4,0)(-2.5,0.1)(-3,4)(-1,4.35)
\psbezier[linewidth=1.25pt,linecolor=red](-1,4.35)(2,3.8)(2.25,0.6)(5,0)
\psbezier[linewidth=1.25pt,linecolor=red](5,0)(7,-0.6)(8,-1)(8,-1)
\end{pspicture}
\end{center}

Pour tout réel $x$ de l'intervalle $] - \infty~;~ 0]$, on a :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$f'(x) \leqslant 0$&\textbf{b.~~}$f'(x) \geqslant 0$&\textbf{c.~~}$f(x) \geqslant 0$&\textbf{d.~~}$f'(x) \leqslant 0$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip


\textbf{Question 4}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie pour tout $x \ne -2$ par : $f(x) = \dfrac{2x - 1}{x+2}$.

Parmi les expressions  suivantes, laquelle définit la dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur 
$\R\backslash \{-2\}$ ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$f'(x) = - \dfrac{5}{(x + 2)^2}$&\textbf{b.~~}$f'(x) =  \dfrac{3}{(x + 2)^2}$&\textbf{c.~~}$f'(x) = \dfrac{5}{(x + 2)^2}$&\textbf{d.~~}$f'(x) = 2$\rule[-3pt]{0mm}{7mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 5 :}

\medskip
Soit $f$ une fonction telle que $f(2) = 5$ et $f'(2) = -1$. 

Dans un repère, la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $2$ a pour équation :

\textbf{a.~~} $y = - x - 3$

\textbf{b.~~} $y =-x + 3$

\textbf{c.~~} $y= - x + 7$

\textbf{d.~~} $y = 5x - 11$
\medskip



\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip


On donne ci-dessous les représentations graphiques respectives $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ de deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ l’ensemble des nombres réels.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.25cm,labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false,labelsep=0.1pt}
\begin{pspicture}(-8,-13)(5,35)
\multido{\n=-7+1}{12}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,-12.5)(\n,32.6)}
\multido{\n=-12+1}{45}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](-7,\n)(4,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt,Dy=2]{->}(0,0)(-7,-12.5)(4,33)
\uput[ur](0.2,0.5){O}
\def\Func{x x x 3 add mul 9 sub mul 1 sub}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-5.2}{3.2}{\Func}
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=green]{-5.2}{3.2}{x 3 exp x dup mul 3 mul add 9 x mul sub 1 sub}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2}{1.21}{x x 10 mul 8 add mul 8 add}
\uput[ul](-4.2,16){\blue $\mathcal{C}_f$}
\uput[ur](1.2,30){\red $\mathcal{C}_g$}

\end{pspicture}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est définie sur $\R$ par 

\[f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x - 1.\]
On admet qu’elle est dérivable sur $\R$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$.
		\item Déterminer le signe de $f'(x)$ en fonction du réel $x$.

En déduire le tableau de variation de la fonction $f$.
		\item Déterminer une équation de la droite $T$ tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d’abscisse $-1$.
	\end{enumerate}
\item La fonction $g$ est une fonction polynôme du second degré, il existe donc trois réels $a$, $b$ et $c$
tels que : $g(x) = ax^2 + bx + c$ pour tout réel $x$ . On note $\Delta$ son discriminant.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, à l’aide du graphique, le signe de $a$ et le signe de $\Delta$.
		\item La fonction $g$ est définie, pour tout réel $x$, par $g(x) = 10x^2 + 8x + 8$.

Démontrer que les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$  ont un point commun d’abscisse $-1$ et qu’en ce
point elles ont la même tangente.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

On s'intéresse à la consommation d'essence d'un véhicule en fonction de sa vitesse.

\medskip

\textbf{Lecture graphique}

Le graphique ci-dessous représente la consommation d'essence en litres pour $100$~km en fonction de la vitesse en km.h$^{-1}$ du véhicule.

\begin{center}
\psset{xunit=0.08cm,yunit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-5,-1)(135,16)
\multido{\n=0+5}{28}{\psline[linestyle=dotted](\n,0)(\n,14)}
\multido{\n=0+1}{15}{\psline[linestyle=dotted](0,\n)(135,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=2]{->}(0,0)(0,0)(135,15)
\uput[r](0,15){consommation en litres pour 100 km}
\uput[u](120,0){vitesse en km.h$^{-1}$}
%\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](30,11)(35,7)(40,5)(45,4.1)(50,4)(55,4.1)(60,4.4)(65,4.85)(70,5.15)(75,5.85)(80,6.1)(85,6.4)(90,7.06)(95,7.6)(100,8)(105,8.3)(110,8.9)(115,9)(120,9.25)(125,9.85)(130,10)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{30}{130}{x dup mul 20 mul 1600 x mul sub 40000 add x dup mul div}
\end{pspicture}
\end{center}

Avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions suivantes:

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la consommation du véhicule lorsque celui-ci roule à 40 km.h$^{-1}$ ?
\item Pour quelle(s) vitesse(s) le véhicule consomme-t-il 8 litres pour 100 km ?
\item Pour quelle vitesse la consommation du véhicule semble-t-elle minimale ?
\end{enumerate}

\textbf{Modélisation}

\medskip

Si on note $x$  la vitesse du véhicule en km.h$^{-1}$, avec $30 \leqslant x \leqslant 130$, la consommation d'essence en litres pour 100 km est modélisée par la fonction $f$ d'expression :

\[f(x) = \dfrac{20x^2  - \np{1600}x + \np{40000}}{x^2}.\]

On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle [30~;~130].

\begin{enumerate}[resume]
\item Montrer que pour tout $x \in [30~;~130],$

\[f'(x) = \dfrac{800\left (2x - 100\right )}{x^3}.\]

\item Démontrer la conjoncture de la question 3.
\end{enumerate}
\bigskip
\newpage

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle [0~;~2] par $f(x) = 8x - 2x^3$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x$ de [0; 2], $f'(x)$ a le même signe que $4 - 3x^2$.
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur [0~;~2].
\end{enumerate}
\item Dans un repère orthonormal, on considère la parabole $p$ d’équation $y = x^2$ et la droite ${D}$ d’équation $y = 4$.

On considère le rectangle $MSFE$ tel que :
\begin{itemize}
\item $M$ un point de $p$ dont l’abscisse $x$ est un réel de $]0~;~2[$.
\item $S$ est le symétrique de $M$ par rapport à l’axe des ordonnées.
\item $E$ et $F$ sont respectivement les projetés orthogonaux de $M$ et $S$ sur la droite ${D}$.
\end{itemize}

\begin{center}



\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false}
\begin{pspicture}(-4.4,-1.5)(4.5,5.6)
\psframe[fillstyle=solid, fillcolor= aliceblue](-1,1)(1,4)
\multido{\n=-4+0.2}{40}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=lightgray](\n,-0.99)(\n,5.2)}
\multido{\n=-0.8+0.2}{30}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=lightgray](-4,\n)(4,\n)}
\multido{\n=-4+1}{9}{\psline[linewidth=0.45pt](\n,-0.9)(\n,5.2)}
\multido{\n=0+1}{6}{\psline[linewidth=0.45pt](-4,\n)(4,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt]{-}(0,0)(-4,-0.99)(4,5.2)
\def\Func{x x  mul  }
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=0.85pt,linecolor=red]{-2.27}{2.27}{\Func}
\uput[dl](0,0){O}
\psdots[dotstyle=Bullet,dotscale=1.5,](1,1)(-1,1)(-1,4)(1,4)
\uput[dr](1,1){\footnotesize $M$}\uput[ur](1,4){\footnotesize $E$}\uput[ul](-1,4){\footnotesize $F$}\uput[dl](-1,1){\footnotesize $S$}
\psline[linewidth=1.25pt](-4,4)(4,4)\uput[u](3.8,4){${D}$}
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item  Lorsque l’abscisse $x$ du point $M$ varie dans ]0~;~2[, l’aire du rectangle $MSFE$ est-elle constante ?
		\item Montrer que l’aire du rectangle $MSFE$ en fonction de l’abscisse $x$ de $M$ est $8x - 2x^3$.
		\item Montrer que l’aire maximale du rectangle $MSFE$ est $\dfrac{32}{3\sqrt{3}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}